人生最可悲的事情,莫过于胸怀大志,却又虚度光阴。 ​​​​

第2章 极限与连续性

2019.04.16

2.2.2 极限法则

定理1(极限法则)若$L, M, c$和$k$是实数,并且

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=L, \lim _{x \rightarrow c} g(x)=M $$ 则有

(1)和法则

$$ \lim _{x \rightarrow c}(f(x)+g(x))=L+M $$

两个函数之和的极限等于它们的极限之和。

(2) 差法则

$$ \lim _{x \rightarrow c}(f(x)-g(x))=L-M $$

两个函数之差的极限等于它们的极限之差。

(3)积法则

$$ \lim _{x \rightarrow c}(f(x) \cdot g(x))=L \cdot M $$

两个函数乘积的极限等于它们的极限的乘积。

(4)常数倍法则

$$ \lim _{x \rightarrow c}(k \cdot f(x))=k \cdot L $$

常数与函数相乘的极限等于常数与函数极限的相乘。

(5)商法则

$$ \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad M \neq 0 $$

两个函数之商的极限等于它们的极限之商,假定分母的极限不为零。

(6)幂法则

若$r$和$s$是不含公因数的整数,且$s\neq 0$,则

$$ \lim _{x \rightarrow c}(f(x))^{r / s}=L^{r / s} $$

假定$L^{r/s}$是实数,函数的有理数幂的极限等于函数极限的幂,假定极限幂是实数。

定理2(多项式的极限) 若$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ 则

$\lim _{x \rightarrow c}P(x)=P(c)=a_{n} c^{n}+a_{n-1} c^{n-1}+\cdots+a_{0}$

定理3(有理数的极限) 若$P(x)$和$Q(x)$是多项式,且$Q©\neq 0$,则 $$ \lim _{x \rightarrow c} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P( c )}{Q( c )} $$

2.2.3 用代数方法消去零分母

\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-x} &= \frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-x} \newline &= \frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)} \newline &=\frac{x+2}{x} \newline \end{aligned}

2.2.5 夹层定理

定理4(夹层定理)假设对于包含$c$的某个开区间内的所有$x$($x=c$本身可能除外),有$g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$,同时假设$\lim _{x \rightarrow c} g(x)=\lim _{x \rightarrow c} h(x)=L$,那么$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$。

定理5 如果在包含$c$的某个开区间内($x=c$本身可能除外)有$f(x) \leqslant g(x)$,且当$x \rightarrow c$时$f$和$g$都存在极限,那么 $$ \lim _{x \rightarrow c} f(x) \leqslant \lim _{x \rightarrow c} g(x) $$

2.3极限的精确定义

2.3.1 极限的定义

定义令$f(x)$在围绕$x_{0}$的一个开区间上定义,在本身可能除外,如果对于每个数$\varepsilon>0$存在一个对应的数$\delta>0$使得对于所有$x$,

$$ 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon $$ 我们就说$f(x)$当$x \rightarrow x$时的极限$L$,并写成

$$ \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L $$